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<!DOCTYPE html>

<title>Teilmenge</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Teilmenge</h1>

</header>

</div>

Die <a href="Mathematik" title="Mathematik">mathematischen</a> Begriffe Teilmenge und Obermenge beschreiben eine Beziehung zwischen zwei <a href="Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Mengen</a>. Ein anderes Wort für Teilmenge ist Untermenge.

Für die mathematische Abbildung der Einbettung einer Teilmenge in ihre <a href="Grundmenge" title="Grundmenge">Grundmenge</a>, die <a href="Mathematische_Funktion" class="mw-redirect" title="Mathematische Funktion">mathematische Funktion</a> der Teilmengenbeziehung, wird die <a href="Inklusionsabbildung" title="Inklusionsabbildung">Inklusionsabbildung</a> verwendet.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist eine Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> ist eine Obermenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, wenn jedes <a href="Element_(Mathematik)" title="Element (Mathematik)">Element</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> auch in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> enthalten ist. Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> zudem weitere Elemente enthält, die nicht in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> enthalten sind, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine echte Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> ist eine echte Obermenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">.

Die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> heißt die <a href="Potenzmenge" title="Potenzmenge">Potenzmenge</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">.

Den Begriff Teilmenge prägte <a href="Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a> – der „Erfinder“ der <a href="Mengenlehre" title="Mengenlehre">Mengenlehre</a> – ab 1884; das Symbol der Teilmengenrelation wurde von <a href="Ernst_Schr%C3%B6der_(Mathematiker)" title="Ernst Schröder (Mathematiker)">Ernst Schröder</a> 1890 in seiner „<a href="Algebra" title="Algebra">Algebra</a> der <a href="Logik" title="Logik">Logik</a>“ eingeführt.<a href="#cite_note-deiser-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> Mengen sind und jedes Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> auch ein Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> ist, nennt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine Teilmenge oder Untermenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">:<a href="#cite_note-2">[2]</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B:\Longleftrightarrow \forall x\in A\colon x\in B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5b24df8734c7ab07f54605a8b9ff2f413895c2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:27.034ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B:\Longleftrightarrow \forall x\in A\colon x\in B}" loading="lazy"></dd></dl>

Umgekehrt nennt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> die Obermenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> genau dann, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> ist:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\supseteq A:\Longleftrightarrow A\subseteq B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e526d208ed789da18ac43aae0b991d5e05b73a22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:19.465ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle B\supseteq A:\Longleftrightarrow A\subseteq B}" loading="lazy"></dd></dl>

Weiterhin gibt es den Begriff der echten Teilmenge. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist eine echte Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> genau dann, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> nicht identisch mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> ist.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subsetneq B:\Longleftrightarrow A\subseteq B\land A\neq B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd243e285de3f10de6eea90c60c5fbb28086be73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.653ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A\subsetneq B:\Longleftrightarrow A\subseteq B\land A\neq B}" loading="lazy"></dd></dl>

Wieder schreibt man auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\supsetneq A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\supsetneq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee6f9bc7f3f838bcc1b8136530626324a40bad17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.606ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle B\supsetneq A}" loading="lazy">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subsetneq B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subsetneq B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7bf81e9a4a81df2d596b4db1cde6b9bdf82c73db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.606ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A\subsetneq B}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weitere_Notationen">Weitere Notationen</h2></div>

Einige Autoren benutzen auch die Zeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subset }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subset }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f51f0eeff0c2a9dcb9c856f87ca0359e701ef01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \subset }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \supset }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \supset }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27bfe0828a2ed4c9c6b70987a85c02a1f005843c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \supset }" loading="lazy"> für Teilmenge und Obermenge anstatt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subseteq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subseteq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a924f8dcb2847bb8871edfdbf4c6b5cca0669228.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \subseteq }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \supseteq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \supseteq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c8a31abf11074afa03a75eba80bfce6b98020e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \supseteq }" loading="lazy">.<a href="#cite_note-3">[3]</a><a href="#cite_note-4">[4]</a> Meistens definiert der Autor dann den Begriff „echte Teilmenge“ nicht.

Andere Autoren bevorzugen die Zeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subset }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subset }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f51f0eeff0c2a9dcb9c856f87ca0359e701ef01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \subset }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \supset }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \supset }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27bfe0828a2ed4c9c6b70987a85c02a1f005843c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \supset }" loading="lazy"> für echte Teilmenge und Obermenge also statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subsetneq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subsetneq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ccda11a9c5eb10088602771f7c0f05ffea7f41c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \subsetneq }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \supsetneq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \supsetneq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b84cda99291cdfefb94e6f580e14da12d3f43009.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \supsetneq }" loading="lazy">.<a href="#cite_note-deiser-1">[1]</a> Dieser Gebrauch erinnert passenderweise an die Zeichen für <a href="Ungleichung" title="Ungleichung">Ungleichheit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \leq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \leq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/440568a09c3bfdf0e1278bfa79eb137c04e94035.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \leq }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle <}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle <}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33737c89a17785dacc8638b4d66db3d5c8670de1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle <}" loading="lazy">. Da diese Notation meistens benutzt wird, wenn der Unterschied zwischen echter und nicht echter Teilmenge wichtig ist, werden die Zeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subsetneq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subsetneq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ccda11a9c5eb10088602771f7c0f05ffea7f41c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \subsetneq }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \supsetneq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \supsetneq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b84cda99291cdfefb94e6f580e14da12d3f43009.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \supsetneq }" loading="lazy"> eher selten benutzt.

Varianten des Zeichens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subsetneq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subsetneq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ccda11a9c5eb10088602771f7c0f05ffea7f41c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \subsetneq }" loading="lazy"> sind außerdem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varsubsetneq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varsubsetneq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e100b112aa2eb37e6e21e4df95a4ec31ac286c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \varsubsetneq }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subsetneqq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subsetneqq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59b1428bbc8b9aba770fbe531003a669d798b13a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.808ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \subsetneqq }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varsubsetneqq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varsubsetneqq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a211547c8ca3e0915def5c5027f9058770c3674.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.808ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \varsubsetneqq }" loading="lazy">. Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> keine Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> ist, kann auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\nsubseteq B:\Longleftrightarrow \lnot \left(A\subseteq B\right)}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\nsubseteq B:\Longleftrightarrow \lnot \left(A\subseteq B\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6063f247166231298e305ba839d201e170963656.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.212ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A\nsubseteq B:\Longleftrightarrow \lnot \left(A\subseteq B\right)}" loading="lazy"> benutzt werden. Entsprechende Schreibweisen sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varsupsetneq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varsupsetneq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed7d70c276d8057ebb602db04bed3614dcbb6068.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \varsupsetneq }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \supsetneq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \supsetneq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b84cda99291cdfefb94e6f580e14da12d3f43009.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \supsetneq }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \supsetneqq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \supsetneqq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fc01cabd94a8f63d60800a8b4839da77b765078.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.808ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \supsetneqq }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varsupsetneqq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varsupsetneqq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b91be41bb9942234dfef27c5904814a750c457b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.808ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \varsupsetneqq }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \supsetneq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \supsetneq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b84cda99291cdfefb94e6f580e14da12d3f43009.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \supsetneq }" loading="lazy">, sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\nsupseteq B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\nsupseteq B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20c4b4e221f16f2fdad0ec46f7238debd31293d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.606ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A\nsupseteq B}" loading="lazy"> (keine Obermenge).

Die entsprechenden <a href="Unicode" title="Unicode">Unicode</a>-Symbole sind: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇, ⊄, ⊅, ⊈, ⊉, ⊊, ⊋ (siehe: <a href="Unicode-Block_Mathematische_Operatoren" class="mw-redirect" title="Unicode-Block Mathematische Operatoren">Unicode-Block Mathematische Operatoren</a>).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Sprechweisen">Sprechweisen</h2></div>

Statt „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist eine Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">“ wird auch „Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist in der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> enthalten“ oder „Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> wird von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> umfasst“ gesagt. Genauso wird statt „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> ist eine Obermenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">“ auch „Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> enthält die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">“ oder „Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> umfasst die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">“ gesagt. Wenn es nicht zu Missverständnissen kommen kann, wird auch „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> enthält <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">“ usw. gesagt. Missverständnisse können insbesondere mit „Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> enthält das <a href="Element_(Mathematik)" title="Element (Mathematik)">Element</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">“ entstehen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>{1, 2} ist eine (echte) Teilmenge von {1, 2, 3}.</li>

<li>{1, 2, 3} ist eine (unechte) Teilmenge von {1, 2, 3}.</li>

<li>{1, 2, 3, 4} ist keine Teilmenge von {1, 2, 3}.</li>

<li>{1, 2, 3} ist keine Teilmenge von {2, 3, 4}.</li>

<li>{} ist eine (echte) Teilmenge von {1, 2}.</li>

<li>{1, 2, 3} ist eine (echte) Obermenge von {1, 2}.</li>

<li>{1, 2} ist eine (unechte) Obermenge von {1, 2}.</li>

<li>{1} ist keine Obermenge von {1, 2}.</li>

<li>Die Menge der <a href="Primzahl" title="Primzahl">Primzahlen</a> ist eine echte Teilmenge der Menge der <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahlen</a>.</li>

<li>Die Menge der <a href="Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationalen Zahlen</a> ist eine echte Teilmenge der Menge der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a>.</li></ul>

Weitere Beispiele als Mengendiagramme:

<div class="gallerytext">A ist eine echte Teilmenge von B</div>

</li>

<div class="gallerytext">C ist zwar eine Teilmenge von B, aber keine echte Teilmenge von B</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<ul><li>Die <a href="Leere_Menge" title="Leere Menge">leere Menge</a> ist Teilmenge jeder Menge:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varnothing \subseteq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b947b700faaf478c312531745e80bf69ed50d493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.65ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \varnothing \subseteq A}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1ce5093be9e30238b83393aed738eafd3a43030.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.585ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq A}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der <a href="Vereinigungsmenge" class="mw-redirect" title="Vereinigungsmenge">Vereinigung</a>:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c8d5041785e02e3298cd6ae005cb1104978d994.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:21.172ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe des <a href="Schnittmenge" class="mw-redirect" title="Schnittmenge">Durchschnitts</a>:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/008c6e8ae34d3e83d618f58933492c663051d892.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:21.151ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der <a href="Differenzmenge" class="mw-redirect" title="Differenzmenge">Differenzmenge</a>:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\setminus B=\varnothing }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c9a560c0b0e299224410ed0f945b94b6c118cb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.828ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\setminus B=\varnothing }" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der <a href="Indikatorfunktion" title="Indikatorfunktion">charakteristischen Funktion</a>:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \chi _{A}\leq \chi _{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37f6f2354e7d647609a56edfd7cefcc5f99bbfe5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.173ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \chi _{A}\leq \chi _{B}}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn jede eine Teilmenge der anderen ist:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80a4492f9eefc48f22938e226ce457c02dfe2fab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:26.013ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A}" loading="lazy"></dd>

<dd>Diese Regel wird oft beim Nachweis der Gleichheit zweier Mengen verwendet, indem man die gegenseitige Inklusion (in zwei Arbeitsschritten) zeigt.</dd></dl></li>

<li>Beim Übergang zum <a href="Komplement_(Mengenlehre)" title="Komplement (Mengenlehre)">Komplement</a> dreht sich die Richtung der Inklusion um:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow A^{\rm {c}}\supseteq B^{\rm {c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83df1a8168889d4b9a2591da7245dde71d6e7c5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:18.75ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow A^{\rm {c}}\supseteq B^{\rm {c}}}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Bei der Bildung der Schnittmenge erhält man stets eine Teilmenge:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cap B\subseteq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7bd25ce29ca352002ab4f7e70da86f7221ef33e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.931ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\cap B\subseteq A}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Bei der Bildung der Vereinigungsmenge erhält man stets eine Obermenge:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cup B\supseteq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c1a27432616e7f3b813b846ca6ffbc235b10ee5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.931ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\cup B\supseteq A}" loading="lazy"></dd></dl></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Inklusion_als_Ordnungsrelation">Inklusion als Ordnungsrelation</h2></div>

Die Inklusion als Beziehung zwischen Mengen erfüllt die drei Eigenschaften einer <a href="Partielle_Ordnung" class="mw-redirect" title="Partielle Ordnung">partiellen Ordnungsrelation</a>, sie ist nämlich <a href="Reflexive_Relation" title="Reflexive Relation">reflexiv</a>, <a href="Antisymmetrische_Relation" title="Antisymmetrische Relation">antisymmetrisch</a> und <a href="Transitive_Relation" title="Transitive Relation">transitiv</a>:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1ce5093be9e30238b83393aed738eafd3a43030.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.585ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq A}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B\subseteq A\Rightarrow A=B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/826b23232ea2cfdb6b7fc4ed79e7e0460f96e1df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:21.667ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B\subseteq A\Rightarrow A=B}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b357e8f0264d0c85a8a2578e8661ab73a82e6f2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:21.692ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C}" loading="lazy"></dd></dl>

(Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subseteq B\subseteq C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B\subseteq C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/740882e1b9f59d59a9058acb6844a4fecc56719b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.47ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B\subseteq C}" loading="lazy"> eine Kurzschreibweise für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subseteq B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b09068bd2f7ba899aeb883ebe670b2ad07b0c851.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.606ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\subseteq C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\subseteq C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87dc1864578bb8f696bbfb7ba1c134c0f1f20458.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.629ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle B\subseteq C}" loading="lazy">.)

Ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> eine Menge von Mengen (ein <a href="Mengensystem" title="Mengensystem">Mengensystem</a>), dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (M,\subseteq )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (M,\subseteq )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b53acff657735014717557582c781f3d016998c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.094ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (M,\subseteq )}" loading="lazy"> eine <a href="Halbordnung" class="mw-redirect" title="Halbordnung">Halbordnung</a>. Insbesondere gilt dies für die <a href="Potenzmenge" title="Potenzmenge">Potenzmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5ed5b6b7f1ad70cba0f7b3cf4603bf627321b5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.493ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}" loading="lazy"> einer gegebenen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Inklusionsketten">Inklusionsketten</h2></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ein <a href="Mengensystem" title="Mengensystem">Mengensystem</a>, so dass von je zwei der in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> vorkommenden Mengen die eine die andere umfasst oder von der anderen umfasst wird, so nennt man ein solches Mengensystem eine Inklusionskette. Ein Beispiel hierfür liefert das System <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{{]{-\infty ,x}[}\mid x\in \mathbb {R} \}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{{]{-\infty ,x}[}\mid x\in \mathbb {R} \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/859ccfd71aa073323c9c536313a7e253b1cd8178.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.9ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{{]{-\infty ,x}[}\mid x\in \mathbb {R} \}}" loading="lazy"> der <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">linksseitig unbeschränkten offenen Intervalle</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy">.

Ein spezieller Fall einer Inklusionskette liegt vor, wenn eine (endliche oder unendliche) <a href="Mengenfolge" title="Mengenfolge">Mengenfolge</a> gegeben ist, welche vermöge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subseteq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subseteq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a924f8dcb2847bb8871edfdbf4c6b5cca0669228.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \subseteq }" loading="lazy"> <a href="Monoton_wachsende_Mengenfolge" class="mw-redirect" title="Monoton wachsende Mengenfolge">aufsteigend</a> oder vermöge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \supseteq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \supseteq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c8a31abf11074afa03a75eba80bfce6b98020e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \supseteq }" loading="lazy"> <a href="Monoton_fallende_Mengenfolge" class="mw-redirect" title="Monoton fallende Mengenfolge">absteigend</a> angeordnet ist. Man schreibt dann kurz:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \ \dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15f18d94917a03c8570259b65bc9cf3f47e7bd9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.378ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \ \dots }" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \ \dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ed13ce2b5f9214376522738bc9a57ce87540d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.378ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \ \dots }" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Größe_und_Anzahl_von_Teilmengen">Größe und Anzahl von Teilmengen</h2></div>

<ul><li>Jede Teilmenge einer <a href="Endliche_Menge" title="Endliche Menge">endlichen</a> Menge ist endlich und für die <a href="M%C3%A4chtigkeit_(Mathematik)" title="Mächtigkeit (Mathematik)">Mächtigkeiten</a> gilt:

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \left|A\right|\leq \left|B\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a23f6d08374741185de518bbea58289829046a03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.413ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \left|A\right|\leq \left|B\right|}" loading="lazy"></dd>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subsetneq B\Rightarrow \left|A\right|<\left|B\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9ab872aea220016312034553194cc12857341c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.413ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\subsetneq B\Rightarrow \left|A\right|<\left|B\right|}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Jede Obermenge einer <a href="Unendliche_Menge" title="Unendliche Menge">unendlichen</a> Menge ist unendlich.</li>

<li>Auch bei unendlichen Mengen gilt für die Mächtigkeiten:

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \left|A\right|\leq \left|B\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a23f6d08374741185de518bbea58289829046a03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.413ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \left|A\right|\leq \left|B\right|}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Bei unendlichen Mengen ist es aber möglich, dass eine echte Teilmenge dieselbe Mächtigkeit hat wie ihre <a href="Grundmenge" title="Grundmenge">Grundmenge</a>. Zum Beispiel sind die <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahlen</a> eine echte Teilmenge der <a href="Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganzen Zahlen</a>, aber die beiden Mengen sind gleich mächtig (nämlich <a href="Abz%C3%A4hlbar_unendlich" class="mw-redirect" title="Abzählbar unendlich">abzählbar unendlich</a>).</li>

<li>Nach dem <a href="Satz_von_Cantor" title="Satz von Cantor">Satz von Cantor</a> ist die <a href="Potenzmenge" title="Potenzmenge">Potenzmenge</a> einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> stets mächtiger als die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> selbst: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |A|<{\bigl |}{\mathcal {P}}(A){\bigr |}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |A|<{\bigl |}{\mathcal {P}}(A){\bigr |}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b95f35a7f59df03704da2bbe8abefa7805e366d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.685ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle |A|<{\bigl |}{\mathcal {P}}(A){\bigr |}}" loading="lazy">.</li>

<li>Eine endliche Menge mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Elementen hat genau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8226f30650ee4fe4e640c6d2798127e80e9c160d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.381ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{n}}" loading="lazy"> Teilmengen.</li>

<li>Die Anzahl der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">-elementigen Teilmengen einer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-elementigen (endlichen) Menge ist durch den <a href="Binomialkoeffizient" title="Binomialkoeffizient">Binomialkoeffizienten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}">

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/206415d3742167e319b2e52c2ca7563b799abad7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.116ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}" loading="lazy"> gegeben.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5.</li>

<li>John L. Kelley: <cite style="font-style:italic">General Topology</cite>. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-90125-6 (Reprint der Edition bei Van Nostrand aus dem Jahre 1955).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Teilmenge&rft.au=John+L.+Kelley&rft.btitle=General+Topology&rft.date=1975&rft.genre=book&rft.isbn=3540901256&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg+%2F+New+York&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Teilmenge_und_echte_Teilmenge" class="extiw external" title="b:Mathe für Nicht-Freaks: Teilmenge und echte Teilmenge">Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Teilmenge und echte Teilmenge</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Teilmenge" class="extiw external" title="wikt:Teilmenge">Wiktionary: Teilmenge</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-deiser-1">↑ <a href="#cite_ref-deiser_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-deiser_1-1">b</a> Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, S. 33 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=94jSPGG1UHkC&pg=PA33#v=onepage">Auszug (Google)</a>).

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre: Eine Elementare Einführung in das Reich des Unendlichgrossen. 2. Auflage. Springer, 2013, ISBN 9783662259009, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=mJXLBgAAQBAJ&pg=PA15">S. 15.</a>

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Set_theory&oldid=24823">Set theory.</a> In: Encyclopedia of Mathematics.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller: Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg, 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 190.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>